Publicado por: gzorzoli   -  En: Articulos   - 

En el Capítulo 2, El charco de lágrimas de Alicia en el país de las Maravillas, podemos leer: ¨Alicia se sentía tan desesperada que estaba dispuesta a pedir socorro a cualquiera. Así pues, cuando el Conejo estuvo cerca de ella, empezó a decirle tímidamente y en voz baja: -Por favor, señor… El Conejo se llevó un susto tremendo, dejó caer los guantes blancos de cabritilla y el abanico, y escapó a todo correr en la oscuridad. Alicia recogió el abanico y los guantes, y, como en el vestíbulo hacía mucho calor, estuvo abanicándose todo el tiempo mientras se decía: -¡Dios mío! ¡Qué cosas tan extrañas pasan hoy! Y ayer todo pasaba como de costumbre. Me pregunto si habré cambiado durante la noche. Veamos: ¿era yo la misma al levantarme esta mañana? Me parece que puedo recordar que me sentía un poco distinta. Pero, si no soy la misma, la siguiente pregunta es ¿quién demonios soy? ¡Ah, este es el gran enigma! Y se puso a pensar en todas las niñas que conocía y que tenían su misma edad, para ver si podía haberse transformado en una de ellas. -Estoy segura de no ser Ada -dijo-, porque su pelo cae en grandes rizos, y el mío no tiene ni medio rizo. Y estoy segura de que no puedo ser Mabel, porque yo sé muchísimas cosas, y ella, oh, ¡ella sabe poquísimas! Además, ella es ella, y yo soy yo, y… ¡Dios mío, qué rompecabezas! Voy a ver si sé todas las cosas que antes sabía. Veamos: cuatro por cinco doce, y cuatro por seis trece, y cuatro por siete… ¡Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte! De todos modos, la tabla de multiplicar no significa nada.¨ Releamos esa última frase: ¨Veamos: cuatro por cinco doce, y cuatro por seis trece, y cuatro por siete… ¡Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!¨. Escribamos usando números estos cálculos: 4 x 5 = 12, 4 x 6 = 13, 4 x 7 = … Está claro que esos cálculos no son correctos bajo la mirada del sistema de numeración decimal. Lo correcto es 4 x 5 = 20, 4 x 6 = 24, 4 x 7 = 28. No debemos olvidar que Lewis Carroll -en realidad Charles Lutwidge Dodgson- no solo fue escritor y fotógrafo, sino matemático y es justamente por eso que parece poco probable que haya puesto en la boca de Alicia unos cuantos cálculos erróneos. Una primera alternativa de solución -quizás ingenua- es suponer que en algún ¨país de las Maravillas¨ ocurra que: 4 x 5 = 12, 4 x 6 = 13, 4 x 7 = 14, 4 x 8 = 15, 4 x 9 = 16, 4 x 10 = 17, 4 x 11 = 18, 4 x 12 = 19 y 4 x 13 ≠ 20. Pero puede ser que ¿4 x 5 = 12? Acaso no es cierto que ¡4 x 5 = 20! Sí claro, 4 x 5= 20 en el sistema de numeración decimal en el que la base del sistema es justamente el 10. Y es por eso que podemos pensar al veinte de esta forma: 4 x 5 = 2 x 10 + 0. ¿Y si pensáramos al 20 escrito en otra base, por ejemplo 8? Entonces tendríamos que: 4 x 5 = 2 x 8 + 4 = 24(8) Y resultaría que cuatro por cinco sería veinticuatro. Y de la misma forma podríamos escribir los resultados de los siguientes cálculos en base 8. 4 x 6 = 3 x 8 + 0 = 30(8) 4 x 7 = 3 x 8 + 4 = 34(8) 4 x 8 = 4 x 8 + 0 = 40(8)

Esto nos muestra que Alicia podría estar recitando la tabla del cuatro en otra base. Recorramos este camino. ¿En qué base 4 x 5 = 12? Sabemos que ¡4 x 5 = 20! En base 10, es decir 4 x 5 = 2 x 10 + 0, pero también -como vimos más arriba- podríamos escribir 4 x 5 = 2 x 8 + 4 = 24(8). Ahora se trata de pensar una base en la cual 4 x 5 = 1 x b + 2 para que resulte que 4 x 5 = 12(b). Esa base es 18, ya que: 4 x 5 = 1 x 18 + 2 y por lo tanto 4 x 5 =12(18). Veamos ahora si en esta nueva base se cumple que 4 x 6 = 13(18). Lamentablemente no es así, pues 4 x 6 = 1 x 18 + 6 = 16(18). Es decir 4 x 6 ≠ 13 en base 18. Volvamos al inicio. Sabemos que ¡4 x 6 = 24! En base 10. Sí, es cierto: 4 x 6 = 2 x 10 + 4. Tendríamos que pensar en qué otra base B sucede que 4 x 6 =13(B). El planteo ahora es: 4 x 6 = 1 x B + 3 = 13(B). Y la nueva base B es 21. Esto se puede verificar al escribir: 4 x 6 = 1 x 21 + 3 =13(21). En resumen -por ahora- tenemos que cuatro por cinco en doce (en base 18) y que cuatro por seis es trece (en base 21), es decir: 4 x 5 =12(18) y 4 x 6 = 13(21). En este sentido Lewis no está usando un único sistema de numeración para dar -a través de Alicialos resultados de una serie de cálculos, sino que va cambiando la base. ¿Cómo lo hace? ¿De qué forma seguirá la secuencia? ¿Cuánto será 4 x 7? Sabemos que ¡4 x 7 = 28! en base 10. Sí, pues 4 x 7 = 2 x 10 + 8. Si para cuatro por cinco usamos la base 18 y para cuatro por seis utilizamos la base 21, parece razonable usar la base 24 para cuatro por siete: 4 x 7 = 1 x 24 + 4. Efectivamente así resulta que: 4 x 7 = 14(24). Entonces sabemos que Alicia podría haber seguido la secuencia diciendo: Veamos: cuatro por cinco doce, y cuatro por seis trece, y cuatro por siete catorce, y … Tenemos así que 4 x 5 = 12(18), 4 x 6 = 13(21) y 4 x 7 = 14(24). Intentemos completar la tabla del cuatro bajo esta extraña regla. Primero busquemos los primeros resultados: 4 x 0, 4 x 1, 4 x 2, 4 x 3 y 4 x 4. Las bases que usaremos van a ir decreciendo de 3 en 3. Es decir, utilizaremos la base 15 para 4 x 4, la base 12 para 4 x 3, la base 9 para 4 x 2, la 6 para 4 x 1 y la 3 para 4 x 0. En ningún caso olvidemos los resultados de estos cálculos en base 10, es decir, en el sistema decimal. Así resulta que:

4 x 4 = 16(10) = 1 x 15 + 1 = 11(15)

4 x 3 = 12(10) = 1 x 12 + 0 = 10(12)

4 x 2 = 8(10) = 0 x 9 + 8 = 8(9) 4 x 1 = 4(10) = 0 x 6 + 4 = 4(6) 4 x 0 = 0(10) = 0 x 3 + 0 = 0(3) En segundo lugar vamos a buscar los siguientes cálculos a 4 x 7 con el fin de alcanzar el 20, sí ¡el 20! La estrategia ahora será ir aumentando la base de 3 en 3. Por lo tanto, utilizaremos la base 27 para 4 x 8, la base 30 para 4 x 9, la base 33 para 4 x 10, la 36 para 4 x 11 y la 39 para 4 x 12. Tampoco olvidemos los resultados de esos cálculos en base 10. 4 x 8 = 32(10) = 1 x 27 + 5 = 15(27) 4 x 9 = 36(10) = 1 x 30 + 6 = 16(30) 4 x 10 = 40(10) = 1 x 33 + 7 = 17(33) 4 x 11 = 44(10) = 1 x 36 + 8 = 18(36) 4 x 12 = 48(10) = 1 x 39 + 9 = 19(39) Con todos estos resultados tenemos completa una tabla del 4 que va desde 4 x 0 hasta 4 x 12, en la cual las respuestas son escritas en una base que aumenta de 3 en 3, comenzando en 3 y cuya originalidad es que la mayoría de las respuestas siguen la secuencia: 10; 11; 12; 13; 14; 15; … A continuación podemos visualizar la tabla entera hasta aquí calculada: 4 x 0 = 0(3) 4 x 1 = 4(6) 4 x 2= 8(9) 4 x 3 =10(12) 4 x 4 =11(15) 4 x 5 =12(18) 4 x 6 =13(21) 4 x 7 =14(24) 4 x 8 =15(27) 4 x 9 =16(30) 4 x 10 = 17(33) 4 x 11 = 18(36) 4 x 12 = 19(39) Al observar la secuencia podemos comprobar una estética indiscutible. El primer número de cada cálculo permanece constante y es el 4. El segundo va aumentando de 1 en 1 a partir del 0 (0; 1; 2; 3; 4; …), el tercero también va aumentando de 1 en 1, pero a partir del 10 (10; 11; 12; 13; 14; 15; …) y el último va en aumento de 3 en 3 (3; 6; 9; 12; 15; 18; …). ¿Qué debería ocurrir con el siguiente cálculo? Sí, que 4 x 13 = 20(42). Sin embargo, como Lewis lo anticipó a través de Alicia: ¨… ¡Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!¨. Recordemos la serie: 4 x 10 = 17(33) 4 x 11= 18(36) 4 x 12 = 19(39) ¿Es cierto que 4 x 13 = 20(42)? Veamos cómo podemos escribir 4 x 13= 20 en base 42. Sabemos que 4 x 13 = 1 x 42 + 10 y 4 x 13 = 110(42). Por lo tanto, 4 x 13 ≠ 20(42). Es más, el número 20 en base 42 es igual al número 84 en base 10: 20(42) = 2 x 42 + 0 = 84. Ahora bien, podríamos preguntarnos si existe algún número que multiplicado por 4 dé como resultado 20(42). Llamemos a ese número incógnita -que debe ser a lo sumo de dos cifrasmediante la expresión nm. Luego, nos debemos plantear quién es nm de modo tal que 4 x nm = 20(42). Como 20(42) = 2 x 42 + 0 = 84, entonces 4 x nm = 84, con lo cual nm = 21. Pero el resultado de 4 x 21 debe escribirse en otra base según la lógica impuesta por Lewis. Esa base es 66. Si continuamos la regla podemos comprobarlo: 4 x 8 = 15(27) 4 x 9 = 16(30) 4 x 10 = 17(33) 4 x 11 = 18(36) 4 x 12 = 19(39) 4 x 13 = 110(42) 4 x 14 = 111(45) 4 x 15 = 112(48) 4 x 16 = 113(51) 4 x 17 = 114(54) 4 x 18 = 115(57) 4 x 19 = 116(60) 4 x 20 = 117(63) 4 x 21 = 118(66) Por lo tanto, Alicia -es decir Lewis- tenía razón: ¨¡Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!¨. Lo que faltaría preguntarnos es qué quiso decir Alicia –otra vez Lewis- cuando siguió diciendo: ¨De todos modos, la tabla de multiplicar no significa nada.¨

Gustavo Zorzoli

En homenaje al sesquicentenario de la publicación de Las aventuras de Alicia bajo tierra.

Noviembre de 2015


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